Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（-1，0）、B（1，0），動(dòng)點(diǎn)C滿足條件：△ABC的周長為2+2

2

．記動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線W．
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）經(jīng)過點(diǎn)（0，

2

）且斜率為k的直線l與曲線W有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，求k的取值范圍；
（Ⅲ）已知點(diǎn)M（

2

，0），N（0，1），在（Ⅱ）的條件下，是否存在常數(shù)k，使得向量

OP

+

OQ

與

MN

共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用條件找到|AC|+|BC|=2

2

＞2，得動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，長軸長為2

2

的橢圓除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)．代入橢圓的方程即可．
（Ⅱ）直線l與曲線W有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，等價(jià)于把直線方程和橢圓方程聯(lián)立后對(duì)應(yīng)的方程有兩個(gè)不等根，利用其判別式大于0即可．
（Ⅲ）先把直線方程和橢圓方程聯(lián)立后找到向量

OP

+

OQ

的坐標(biāo)，利用向量

OP

+

OQ

與

MN

共線求出對(duì)應(yīng)的k的取值，看其是否讓（Ⅱ）成立即可．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)C（x，y），
∵|AC|+|BC|+|AB|=2+2

2

，|AB|=2，
∴|AC|+|BC|=2

2

＞2，
∴由定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，長軸長為2

2

的橢圓除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)．
∴a=

2

，c=1．∴b²=a²-c²=1．
∴W：

x2

2

+y2=1（y≠0）．（2分）
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+

2

，代入橢圓方程，得

x2

2

+(kx+

2

)2=1．
整理，得(

1

2

+k2)x2+2

2

kx+1=0．①（5分）
因?yàn)橹本�l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于△=8k2-4(

1

2

+k2)=4k2-2＞0，解得k＜-

2

2

或k＞

2

2

．
∴滿足條件的k的取值范圍為k∈(-∞，-

2

2

)∪(

2

2

，+∞)（7分）
（Ⅲ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

OP

+

OQ

=（x₁+x₂，y₁+y₂），
由①得x₁+x₂=-

4 2 k

1+2k2

．②
又y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2

2

③
因?yàn)?span id="thtbpnd" class="MathJye">M(

2

，0)，N（0，1），所以

MN

=(-

2

，1)．（11分）
所以

OP

+

OQ

與

MN

共線等價(jià)于x₁+x₂=-

2

(y1+y2)．
將②③代入上式，解得k=

2

2

．
所以不存在常數(shù)k，使得向量

OP

+

OQ

與

MN

共線．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題．一般在研究直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)問題時(shí)，等價(jià)于把直線方程和曲線方程聯(lián)立后對(duì)應(yīng)的方程有兩個(gè)不等根，利用其判別式大于0即可．