Question

【題目】已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.

Answer 1

【答案】或

【解析】

當(dāng)時(shí)，將問題轉(zhuǎn)化為與函數(shù)、的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出、的單調(diào)性；然后研究在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用判別式、對稱軸以及函數(shù)過定點(diǎn)，分種三種情況即當(dāng)時(shí)、當(dāng)時(shí)或時(shí)，討論的取值范圍，從而得出結(jié)果.

由，

則，

當(dāng)時(shí)，，恒過，

對稱軸，

當(dāng)時(shí)，，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，在上有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，在上無零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，令，則，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

令，，

即在上單調(diào)遞增，所以；

令，則，

下面分三種情況討論：

（1）當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，只需在有一個(gè)零點(diǎn)即可，

由，在上單調(diào)遞減，，

在上單調(diào)遞增，

根據(jù)，顯然成立，即在只有一個(gè)零點(diǎn)，

故滿足題意；

（2）當(dāng)時(shí)，在上有無零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，

由（1）可知，在只有一個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；

（3）當(dāng)時(shí)，需在有三個(gè)零點(diǎn)，

在上單調(diào)遞增，，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

為的極大值，且，

在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的大致圖像，如圖：

與兩函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，則；

綜上所述，或

故答案為：或