Question

為了加快縣域經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，某縣選擇兩鄉(xiāng)鎮(zhèn)作為龍頭帶動周邊鄉(xiāng)鎮(zhèn)的發(fā)展，決定在這兩個鎮(zhèn)的周邊修建環(huán)形高速公路，假設(shè)一個單位距離為10km，兩鎮(zhèn)的中心A、B相距8個單位距離，環(huán)形高速公路所在的曲線為E，且E上的點到A、B的距離之和為10個單位距離，在曲線E上建一個加油站M與一個收費(fèi)站N，使M、N、B三點在一條直線上，并且AM+AN=12個單位距離．
（1） 建立如圖的直角坐標(biāo)系，求曲線E的方程及M、N之間的距離有多少個單位距離；
（2）A、B之間有一條筆直公路Z與AB所在直線成45°，且與曲線E交于P，Q兩點，該縣招商部門引進(jìn)外資在四邊形PAQB區(qū)域開發(fā)旅游業(yè)，試問最大的開發(fā)區(qū)域是多少？（平方單位距離）

Answer 1

分析：（1）以AB為x軸，以A中點為原點O建立直角坐標(biāo)系，設(shè)曲線上的點P（x，y），|PA|+|PB|=10＞|AB|=8，動點軌跡為橢圓，且a=5，由此能夠求出曲線E的方程．再由|AM|+|AN|+|BM|+|BN|=20，|AM|+|AN|=12，能夠求出|MN|．
（2）將y=x+t代入

x2

25

+

y2

9

=1，得34y²-18ty+9t²-25×9=0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），再由根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．

解答：解：（1）以AB為x軸，以A中點為原點O建立直角坐標(biāo)系，設(shè)曲線上的點P（x，y），
∵|PA|+|PB|=10＞|AB|=8，
∴動點軌跡為橢圓，且a=5，c=4，b=3，
∴曲線E的方程是

x2

25

+

y2

9

=1．
由|AM|+|AN|+|BM|+|BN|=20，|AM|+|AN|=12，
∴|MN|=8．
（2）將y=x+t代入

x2

25

+

y2

9

=1，得34y²-18ty+9t²-25×9=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則y1+y2=

9t

17

，y1y2=

9t2-25×9

34

，
|y₁-y₂|=

(y1+y2) 2-4y1y2

=

1

17

50×9×17-9×25t2

．
S=S△ABP+S△ABQ=

1

2

AB•|y1-y2|
=

8

34

50×9×17-9×25t2

．
∴當(dāng)t=0時，面積最大是

60

17

34

，此是直線為l：y=x．

點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的合理選用