Question

已知函數(shù)f（x）=2acos²x+bsinxcosx-

3

2

，且f（0）=

3

2

，f（

π

4

）=

1

2

．
（Ⅰ）函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過怎樣的平移才能使其對(duì)應(yīng)的函數(shù)成為奇函數(shù)？
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過怎樣的平移后得到y(tǒng)=cosx．

Answer 1

分析：利用f（0）=

3

2

，f（

π

4

）=

1

2

求得：a=

3

2

，b=1，然后化簡(jiǎn)函數(shù)利用降次、“合二為一”后得f（x）=sin（2x+

π

3

），
（Ⅰ）思路一：函數(shù)向右平移

π

6

個(gè)單位后圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即為奇函數(shù)．
思路二：好的圖象向右平移，使之化為y=sin2x的圖象即可．
（Ⅱ）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)f（x）=sin（2x+

π

3

）=cos[2（x-

π

12

）]，方案一：選向左平移，然后再伸縮變換．
方案二：先伸縮變換，然后向左平移，注意平移時(shí)x的系數(shù)問題．

解答：解：由f（0）=

3

2

，f（

π

4

）=

1

2

得：a=

3

2

，b=1，所以，函數(shù)f（x）=2acos²x+bsinxcosx-

3

2

=sin（2x+

π

3

），
（Ⅰ）思路一：函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于（-

π

6

，0）對(duì)稱，向右平移

π

6

個(gè)單位后圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即為奇函數(shù)（平移的方法不唯一，因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）的圖象對(duì)稱中心不唯一）；
思路二：若函數(shù)f（x）的圖象向右平移m個(gè)單位得到函數(shù)y=sin（2x-2m+

π

3

），要使其為奇函數(shù)，則x=0時(shí)函數(shù)值為0（奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱），即-2m+

π

3

=kπ，k∈Z?m=-

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，隨k的取值不同可以得到不同的m的值，回答其中任一個(gè)即可．（運(yùn)算量雖大一些，但更具一般性）．
（Ⅱ）f（x）=sin（2x+

π

3

）=cos（

π

6

-2x）=cos（2x-

π

6

）=cos[2（x-

π

12

）]，方案一：先左移

π

12

（x變成x+

π

12

）得到函數(shù)y=cos2x，再縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（x變成

x

2

）得到函數(shù)y=cosx；
方案二：先縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（x變成

x

2

）得到函數(shù)y=cos（x-

π

6

），再左移

π

6

（x變成x+

π

6

）得到函數(shù)y=cosx．

點(diǎn)評(píng)：（�。﹫D象變換的問題要特別注意題目要求由誰(shuí)變到誰(shuí)，不要搞錯(cuò)了方向；（ⅱ）變換的源頭和結(jié)果需化為同名的三角函數(shù)且角變量的系數(shù)同號(hào)（用誘導(dǎo)公式）才能實(shí)施；（ⅲ）如果已知變換的結(jié)果探究變換的源頭，可以“倒行逆施”．