Question

數(shù)列{a_n}中，a1=

1

2

，  an+1=

nan

(n+1)(nan+1)

(n∈N*)，其前n項(xiàng)的和為S_n．
（1）設(shè)bn=

1

nan

，求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求S_n的表達(dá)式；
（3）求證：

n

i=1

(1-

Si

Si+1

)

1

Si+1

＜2(

2

-1)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題中已知條件先求出b_n+1與b_n的關(guān)系即可證明數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為2，公差為1等差數(shù)列；
（2）先根據(jù)（1）中求得的b_n的通項(xiàng)公式即可求出a_n的通項(xiàng)公式，然后便可求出前n項(xiàng)的和為S_n的表達(dá)式；
（3）根據(jù)前面求得的Sn的表達(dá)式先求出

Si

Si+1

的表達(dá)式，然后證明出（1-

Si

Si+ 1

）

1

Si+1

＜2(

1

Si

-

1

Si+1

)，即可證明證：

n

i=1

(1-

Si

Si+1

)

1

Si+1

＜2(

2

-1)．

解答：解：（1）證明：∵bn=

1

nan

，
∴bn+1=

1

(n+1)an+1

，
∵an+1=

nan

(n+1)(nan+1)

，
∴bn+1-bn=

1

(n+1)an+1

-

1

nan

=

1

(n+1) nan (n+1)(nan+1)

-

1

nan

=

nan+1

nan

-

1

nan

=1（3分），
又∵b₁=

1

a1

=2，
∴b_n是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列．（4分）

（2）∵b_n=2+（n-1）•1=n+1，
∴an=

1

nbn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，（6分）
∴S_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
（3）證明：∵

Si

Si+1

=

i(i+2)

(i+1)2

=

i2+2i

i2+2i+1

＜1，（9分）
∴(1-

Si

Si+1

)

1

Si+1

=(

1

Si

-

1

Si+1

)

Si

Si+1

，

=( 1 Si - 1 Si+1 )( 1 Si + 1 Si+1 ) Si Si+1 =( 1 Si - 1 Si+1 )( Si Si+1 + Si Si+1 )

＜2(

1

Si

-

1

Si+1

)．（13分）
∴

n

i=1

（1-

Si

Si+1

）

1

Si+1

＜2[(

1

S1

-

1

S2

)+(

1

S2

-

1

S3

)+…+(

1

Sn

- 

1

Sn+1

)]
=2(

1

S1

-

1

Sn+1

)=2(

2

-

n+2 n+1

)＜2(

2

-1)．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的基本性質(zhì)以及數(shù)列與不等式的綜合，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)數(shù)列的綜合掌握，解題時(shí)注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．