Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

6

3

，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為

3

，直線l：y=kx+m交橢圓于不同的兩點(diǎn)A，B．
（1）求橢圓的方程；
（2）若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為

3

2

，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意求出a，b的值，從而得到所求橢圓的方程．
（2）分類討論，將直線方程代入橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合基本不等式，即可求△AOB面積的最大值．

解答：解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意，離心率為

6

3

，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為

3

，
∴

c

a

=

6

3

，a=

3

∴c=

2

，∴b=1，∴所求橢圓方程

x2

3

+y2=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，|AB|=

3

．
②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．
∵坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為

3

2

，∴

|m|

1+k2

=

3

2

，∴得m²=

3

4

（k²+1）．
把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∴x₁+x₂=-

6km

3k2+1

，x₁x₂=

3m2-3

3k2+1

．
∴|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²=3+

12k2

9k4+6k2+1

=3+

12

9k2+ 1 k2 +6

≤3+

12

2×3+6

=4（k≠0）
當(dāng)且僅當(dāng)9k²=

1

k2

，即k=±

3

3

時(shí)等號(hào)成立．
當(dāng)k=0時(shí)，|AB|=

3

，
綜上所述|AB|_max=2．
∴當(dāng)|AB|最大時(shí)，△AOB面積取最大值S=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，求|AB|的最大值是關(guān)鍵．