Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC為弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足為D．
（1）求證：CD是⊙O切線；
（2）若⊙O的直徑為4，AD=3，求∠BAC的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）連接OC，證明∠OCD=90°，得出CD是⊙O切線．
（2）連接BC，證明△BAC∽△CAD，求出AC的長度，再求出∠BAC的余弦，得出∠BAC的度數(shù)．

解答：證明：（1）連接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD．
∴∠OCA=∠CAD．
∴OC∥AD．
又∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD．
∴OC是⊙O的切線．
（2）連接BC，
∵AB是直徑，
∴∠BCA=90°．
∴∠BCA=∠ADC=90°．
∵∠BAC∠=∠CAD，
∴△BAC∽△CAD．
∴

AB

AC

=

AC

AD

即

4

AC

=

AC

3

．
∴AC=2

3

．
在Rt△ABC中，cos∠BAC=

AC

AB

=

3

2

．
∴∠BAC=30°．

點評：本題主要考查了圓的切線的判定定理的證明．連接半徑是證明切線的一種常用輔助線的做法，求角的度數(shù)可以借助于三角函數(shù)．