Question

已知sinα-sinβ=-

1

2

，cosα-cosβ=

1

2

，且α、β均為銳角，求tan（α-β）的值．

Answer 1

分析：觀察題設(shè)條件，可將兩等式平方相加求得α-β的余弦值，再由同角三角函數(shù)的關(guān)系求出其正弦值，由商數(shù)關(guān)系求出其正切值．

解答：解：∵sinα-sinβ=-

1

2

，cosα-cosβ=

1

2

∴sin2α-2sinαsinβ+sin2β=

1

4

①
cos2α-2cosαcosβ+cos2β=

1

4

②
∴①+②得：2(sinαsinβ+cosαcosβ)=

3

2

∴cos(α-β)=

3

4

（7分）
由sinα-sinβ=-

1

2

，且α、β均為銳角，得α＜β＜90°
∴sin(α-β)=-

7

4

（11分）
∴tan(α-β)=-

7

3

（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的兩角和與差的正、余弦公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系．