Question

方程|x²-8elnx|=8（e為自然對數(shù)的底數(shù)）的實根個數(shù)為（　　）

• A、2個
• B、4個
• C、6個
• D、8個

Answer 1

分析：由題意可得函數(shù)y=x²-8elnx，（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并且畫出函數(shù)y=|x²-8elnx|的草圖并且標(biāo)出函數(shù)的極值，借助于函數(shù)的圖象進而得到答案．

解答：解：設(shè)y=x²-8elnx，（x＞0），
所以y′=2x-

8e

x

=2（x-

4e

x

）．
令y′＞0則x＞2

e

，令y′＜0則0＜x＜2

e

，
所以y=x²-8elnx在(0，2

e

)上是單調(diào)減函數(shù)，并且當(dāng)x→0時y→+∞，
在(2

e

，+∞)是單調(diào)增函數(shù)，并且當(dāng)x→+∞時y→+∞．
所以當(dāng)x=2

e

時函數(shù)有最小值為-4ein4＜-8．
所以y=|x²-8elnx|的圖象如圖所示：
所以方程|x²-8elnx|=8的實根個數(shù)為4．
故選B．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練的通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進而畫出函數(shù)的圖象，借助于圖象解決方程的有解問題與解得個數(shù)問題，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．