Question

如圖，AB⊥平面BCD，AB=BC=BD=2，DE∥AB，DE=1，∠CBD=60°，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)．
（I）求點(diǎn)A到平面BCE的距離；
（II）證明：平面ABC⊥平面ACE；
（III）求平面BCD與平面ACE所成二面角的大�。�

Answer 1

分析：（I）由AB=BC=BD=2，∠CBD=60°，DE=1，知CD=2，CE=BE=

5

，設(shè)點(diǎn)A到平面BCE的距離為h，由V_A-BCE=V_C-ABE，得

1

3

×2h=

1

3

×

3

×2，由此能求出點(diǎn)A到平面BCE的距離．
（II）由AB=BC，F(xiàn)為AC中點(diǎn)，知BF⊥AC，取BC中點(diǎn)G，連EF，F(xiàn)G，GD，F(xiàn)G∥DE∥AB，F(xiàn)G=DE=

1

2

AB，故四邊形FGDE為平行四邊形，EF∥DG，由G為BC中點(diǎn)，BD=CD，知DG⊥BC，由此能夠證明平面ABC⊥平面ACE．
（III）延長(zhǎng)AE于BD交于點(diǎn)H，連CH，則CH是平面ACE與面BCD的交線，在△BCH中，由BC=2，BH=4，∠BCD=60°，知BC⊥CH，由AB⊥平面BCD，知AC⊥CH，故∠ACB即為所求的二面角的平面角，由此能求出平面BCD與平面ACE所成二面角的大小．

解答：解：（I）∵AB=BC=BD=2，
∠CBD=60°，DE=1，
∴CD=2，CE=BE=

5

，
∴cos∠CEB=

5+5-4

2× 5 × 5

=

3

5

，
∴sin∠CEB=

1- 9 25

= 

4

5

，
∴S△BCE=

1

2

×

5

×

5

×

4

5

=2，
∵DE∥AB，
∴ABDE是平面圖形，
∵AB⊥平面BCD，
∴BD⊥AB，
∵AB=BD=2，
∴S△ABE=

1

2

×2×2=2，
作CM⊥BD，交BD于M，
∵BC=BD=CD=2，
∴CM=

3

，
∵AB⊥平面BCD，
∴CM⊥AB，
∴CM⊥面ABDE，即CM是棱錐C-ABE的高，
設(shè)點(diǎn)A到平面BCE的距離為h，
由V_A-BCE=V_C-ABE，得

1

3

×2h=

1

3

×

3

×2，
∴h=

3

．
即點(diǎn)A到平面BCE的距離為

3

．
（II）∵AB=BC，F(xiàn)為AC中點(diǎn)，
∴BF⊥AC，
取BC中點(diǎn)G，連EF，F(xiàn)G，GD，F(xiàn)G∥DE∥AB，F(xiàn)G=DE=

1

2

AB，
故四邊形FGDE為平行四邊形，EF∥DG，
∵G為BC中點(diǎn)，BD=CD，∴DG⊥BC，
∵AB⊥面BCD，∴AB⊥DG，
∵DG⊥面ABC，∴DG⊥BF，∴EF⊥BF，
∴BF⊥面ACE，
∴平面ABC⊥平面ACE．
（III）延長(zhǎng)AE于BD交于點(diǎn)H，連CH，
則CH是平面ACE與面BCD的交線，
在△BCH中，
∵BC=2，BH=4，∠BCD=60°，
∴BC⊥CH，
∵AB⊥平面BCD，
∴AC在平面BCD中的射影為BC，
∴AC⊥CH，
故∠ACB即為所求的二面角的平面角，
在△ABC中，AB⊥BC，且AB=BC，∴∠ACB=45°，
故平面BCD與平面ACE所成二面角為45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)A到平面BCE的距離的求法，證明平面ABC⊥平面ACE，求平面BCD與平面ACE所成二面角的大小．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地把空間問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為平面問題．