Question

如圖邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD所在平面與正△PAD所在平面互相垂直，M、Q分別為PC，AD的中點(diǎn)．
（1）求證：PA∥平面MBD；
（2）求：二面角P-BD-A的余弦值；
（3）試問(wèn)：在線(xiàn)段AB上是否存在一點(diǎn)N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，試指出點(diǎn)N的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO，由正方形ABCD知O為AC的中點(diǎn)，由M為PC的中點(diǎn)，知MO∥PA，由此能夠證明PA∥平面MBD
（2）以QA為x軸，過(guò)Q平行于AB的直線(xiàn)為y軸，以QP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能夠求出二面角P-BD-A的余弦值．
（3）存在點(diǎn)N，當(dāng)N為AB中點(diǎn)時(shí)，平面PQB⊥平面PNC．由四邊形ABCD是正方形，Q為AD的中點(diǎn)，知BQ⊥NC，由此能夠證明平面PCN⊥平面PQB．

解答：（1）證明：連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO，
由正方形ABCD知O為AC的中點(diǎn)，
∵M(jìn)為PC的中點(diǎn)，
∴MO∥PA，
∵M(jìn)O?平面MBD，PA?平面MBD，
∴PA∥平面MBD
（2）解：以QA為x軸，過(guò)Q平行于AB的直線(xiàn)為y軸，以QP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則P（0，0，2

3

），D（-2，0，0），B（2，4，0），
∴

DP

=(2，0，2

3

)，

DB

=(4，4，0)，
設(shè)平面PBD的法向量

n1

=（x，y，z），則

DP

•

n1

=0，

DB

•

n1

=0，
∴

2x+2 3 z=0 4x+4y=0

，∴

n1

=(

3

，-

3

，-1)，
∵平面ABD的法向量

n2

=(0，0，1)，
∴二面角P-BD-A的余弦值cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

-1

7

|=

7

7

，
∴二面角P-BD-A的余弦值為

7

7

．
（3）解：存在點(diǎn)N，當(dāng)N為AB中點(diǎn)時(shí)，平面PQB⊥平面PNC，
∵四邊形ABCD是正方形，Q為AD的中點(diǎn)，∴BQ⊥NC．
由（1）知，PQ⊥平面ABCD，NC?平面ABCD，∴PQ⊥NC，
又BQ∩PQ=Q，∴NC⊥平面PQB，
∵NC?平面PCN，
∴平面PCN⊥平面PQB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面平行的證明，考查二面角的求法，考查平面與平垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量法和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．