Question

【題目】已知圓 與直線 相切.
（1）求圓 的方程；
（2）過點(diǎn) 的直線 截圓所得弦長為 ，求直線 的方程；
（3）設(shè)圓 與 軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)為 ，過點(diǎn) 作兩條斜率分別為 的直線交圓 于 兩點(diǎn)，且 ，證明：直線 恒過一個定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】
（1）解：

∵圓 與直線 相切，

∴圓心 到直線的距離為 ，

∴圓 的方程為： .

（2）解：若直線 的斜率不存在，直線 為 ，

此時直線 截圓所得弦長為 ，符合題意；

若直線 的斜率存在，設(shè)直線 為 ，即 ，

由題意知，圓心到直線的距離為 ，解得： ，

此時直線 為 ，

則所求的直線 為 或

（3）解：由題意知， ，設(shè)直線 ，

與圓方程聯(lián)立得： ，

消去 得： ，

∴

∴ ， ，即 ，

∵ ，用 代替 得：

∴直線 的方程為：

即 ，

整理得：

則直線 定點(diǎn)為

【解析】(1)由圓與直線相切得到圓心到切線的距離公式等于圓的半徑列出關(guān)于r的方程，求出其值即可求出圓的方程。(2)分兩種情況：當(dāng)直線的斜率不存在時直線x=1滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)出直線的方程，根據(jù)直線與圓的切線得到圓心到直線的距離d=r，列出關(guān)于k的方程解出方程求出k的值，進(jìn)而得到直線的方程，(3)根據(jù)題意求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)出直線AB的方程與圓的方程聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理表示出兩根之積，將A的橫坐標(biāo)代入表示出B的橫坐標(biāo)，進(jìn)而表示出B的縱坐標(biāo)確定出B的坐標(biāo)，由題中 k1 k2 = 2，表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)故可求出直線BC的解析式，進(jìn)而可得出直線BC恒過一個定點(diǎn)，求出該點(diǎn)坐標(biāo)即可。
【考點(diǎn)精析】掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與圓的三種位置關(guān)系是解答本題的根本，需要知道圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程；直線與圓有三種位置關(guān)系：無公共點(diǎn)為相離；有兩個公共點(diǎn)為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點(diǎn)為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．