Question

設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)f（x）構(gòu)成的集合①方程f（x）-x=0有實數(shù)根；②函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x） 滿足0＜f′（x）＜1．
（1）若函數(shù)f（x）為集合M中的任一元素，試證明方程f（x）-x=0 只有一個實根
（2）判斷函數(shù)g（x）=

x

2

-

lnx

2

+3（x＞1）是否是集合M中的元素，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-x，由已知可判斷h（x）是單調(diào)遞減函數(shù)，由單調(diào)函數(shù)至多有一個零點，及方程f（x）-x=0有實根，可證得答案；
（2）結(jié)合函數(shù)g（x）=

x

2

-

lnx

2

+3（x＞1），分析條件：①方程g（x）-x=0有實根；②函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)g′（x）滿足0＜g′（x）＜1．兩個條件是否滿足，可得結(jié)論；

解答：解：（1）令h（x）=f（x）-x，
則h′（x）=f′（x）-1，
∵函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x） 滿足0＜f′（x）＜1，
∴h′（x）=f′（x）-1＜0，
故h（x）是單調(diào)遞減函數(shù)，
∴方程h（x）=0，即f（x）-x=0至多有一解，
又由題設(shè)①知方程f（x）-x=0有實數(shù)根，
∴方程f（x）-x=0有且只有一個實數(shù)根．
（2）易知，g′（x）=

1

2

-

1

2x

，
則0＜g′（x）＜1，滿足條件②；
令F（x）=g（x）-x-

x

2

-

lnx

2

+3，（x＞1），
則F（e）=-

e

2

-

lne

2

+3=-

e

2

+

5

2

＞0，
F（e²）=-

e2

2

+1＜0，
又F（x）在區(qū)間[e，e²]上連續(xù)，
∴F（x）在[e，e²]上存在零點x₀，即方程g（x）-x有實數(shù)根x₀∈[e，e²]，
故g（x）滿足條件①，
綜上可知，g（x）∈M．

點評：本題是函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，是函數(shù)零點與方程根關(guān)系的綜合應(yīng)用，其中利用導(dǎo)數(shù)法分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷函數(shù)零點的個數(shù)及對應(yīng)方程根的個數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．