Question

（本小題滿分14分）
已知數(shù)列的前項和為，且 N.
（1） 求數(shù)列的通項公式；
（2）若是三個互不相等的正整數(shù)，且成等差數(shù)列，試判斷
是否成等比數(shù)列？并說明理由.

Answer 1

（1）（2）不是等比數(shù)列，假設(shè)成等比數(shù)列，則， 即，
化簡得：. （*） ∵，∴，這與（*）式矛盾，故假設(shè)不成立

試題分析：(1) 解：，
∴ 當(dāng)時，有  解得 .
由,              ①
得, ② 
② - ①得: .            ③ 
以下提供兩種方法：
法1：由③式得：，
即; 
，
∵，
∴數(shù)列是以4為首項,2為公比的等比數(shù)列.                  
∴,即.
當(dāng)時, ，
又也滿足上式,
∴.
法2：由③式得：，
得.                      ④ 
當(dāng)時,,            ⑤ 
⑤-④得：.     
由，得，
∴. 
∴數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列.   ∴.
（2）解：∵成等差數(shù)列，
∴.
假設(shè)成等比數(shù)列，
則，
即，
化簡得：.       （*）
∵，
∴，這與（*）式矛盾，故假設(shè)不成立.……13分
∴不是等比數(shù)列. 項和
點評：本題需要構(gòu)造新數(shù)列，難度很大，求解中用到的關(guān)系式
第二問中的反證法的應(yīng)用比綜合法分析法更簡單實用；本題還考查了合情推理、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力