Question

20．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，點F₂關(guān)于雙曲線C的一條漸近線的對稱點A在該雙曲線的左支上，則此雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 設F（-c，0），漸近線方程為y=$\frac{a}$x，對稱點為F'（m，n），運用中點坐標公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，求出對稱點的坐標，代入雙曲線的方程，由離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：設F（-c，0），漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
對稱點為F'（m，n），
即有$\frac{n}{m+c}$=-$\frac{a}$，
且$\frac{1}{2}$•n=$\frac{1}{2}$•$\frac{b（m-c）}{a}$，
解得m=$\frac{^{2}-{a}^{2}}{c}$，n=-$\frac{2ab}{c}$，
將F'（$\frac{^{2}-{a}^{2}}{c}$，-$\frac{2ab}{c}$），即（$\frac{{c}^{2}-2{a}^{2}}{c}$，-$\frac{2ab}{c}$），
代入雙曲線的方程可得$\frac{（{c}^{2}-{a}^{2}）^{2}}{{c}^{2}{a}^{2}}$-$\frac{4{a}^{2}^{2}}{{c}^{2}^{2}}$=1，
化簡可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-4=1，即有e²=5，
解得e=$\sqrt{5}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用中點坐標公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，以及點滿足雙曲線的方程，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．