Question

7．橢圓mx²+ny²=1與直線y=1-4x交于M、N兩點，過原點與線段MN中點所在直線的斜率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則$\frac{m}{n}$的值為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $2\sqrt{2}$
• D． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN中點P（x₀，y₀），利用點差法能求出$\frac{m}{n}$的值．

解答 解：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN中點P（x₀，y₀）．
由$\left\{\begin{array}{l}{m{{x}_{1}}^{2}+n{{y}_{1}}^{2}=1}\\{m{{x}_{2}}^{2}+n{{y}_{2}}^{2}=1}\end{array}\right.$，兩式相減得m（${{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}$）+n（${{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}$）=0．
又x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，
∵直線y=1-4x，∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-4，
∴mx₀-4ny₀=0，
∵kOP=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴$\frac{m}{n}$=$\frac{4{y}_{0}}{{x}_{0}}$=2$\sqrt{2}$．
故選：C．

點評 本題考查實數值比值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點差法的合理運用．