Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右定點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)B，且與一條漸近線交于點(diǎn)C，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，又OA=2OB，OA•OC=2，過點(diǎn)F的直線與雙曲線右交于點(diǎn)M、N，點(diǎn)P為點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)．
（1）求雙曲線的方程；
（2）證明：B、P、N三點(diǎn)共線；
（3）求△BMN面積的最小值．

Answer 1

分析：（I）由題意得A（a，0），B（

a2

c

，0，又

OA

=2

OB

?

a2

c

=

a

2

…①．

at

c

=

a

2

…①，由題設(shè)知C(

a2

c

，

ab

c

). ∴

OA

•

OC

=2?

a2

c

=2…②
聯(lián)立①、②，得a=2，c=4．由此可得雙曲線的方程．
（II）由題設(shè)得點(diǎn)B（1，0），F(xiàn)（4，0），設(shè)直線l的方程為x=ty+4，由

x2 4 - y2 12 =1 x=ty+4

?（3t²-1）y²+24ty+36=0，由此入手可證出B、P、N三點(diǎn)共線．
（III）由題意知x₁x₂=（ty₂+4）（ty₂+4）=t²y₁y₂+4t（y₁+y₂）+16=t2•

36

3t2-1

+4t•

-24t

3t2-1

+16＞0，所以t2＜

1

3

S△BMN=

1

2

|BF|• |y1-y2|=

3

2

(24t)2-4•36•(3t2-1)

|3t2-1|

=

18 1+t2

|3t2-1|

=

18 1+t2

1-3t2

=

6 3 3+3t2

1-3t2

，由此能求出△BMN面積的最小值．

解答：解：（I）由題意得A（a，0），B（

a2

c

，0，又

OA

=2

OB

?

a2

c

=

a

2

…①
由

x= a2 c y= b a x

?C(

a2

c

，

ab

c

). ∴

OA

•

OC

=2?

a2

c

=2…②
聯(lián)立①、②，得a=2，c=4
∴雙曲線的方程為

x2

4

-

y2

12

=1．

（II）由（I），得點(diǎn)B（1，0），F(xiàn)（4，0），設(shè)直線l的方程為x=ty+4
由

x2 4 - y2 12 =1 x=ty+4

?（3t²-1）y²+24ty+36=0
∴

BP

=(x1-1，-y1)， 

BN

=(x2-1 ，y2)
∵（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）=x₁y₂+x₂y₁-（y₁+y₂）=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₁=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₂
-(y1+y2)=2ty1y2+3(y1+y2)=2t•

36

3t2-1

+3•

-24t

3t2-1

=0
∴向量

BP

與

BN

共線，∴B、P、N三點(diǎn)共線．

（III）∵直線l與雙曲線右支相交于M、N兩點(diǎn)
∴x₁x₂=（ty₂+4）（ty₂+4）=t²y₁y₂+4t（y₁+y₂）+16
=t2•

36

3t2-1

+4t•

-24t

3t2-1

+16＞0?

3t2+4

3t2-1

＜0?t2＜

1

3

∴S△BMN=

1

2

|BF|• |y1-y2|=

3

2

(24t)2-4•36•(3t2-1)

|3t2-1|

=

18 1+t2

|3t2-1|

=

18 1+t2

1-3t2

=

6 3 3+3t2

1-3t2

令u=1-3t²，u∈（0，1]
∴S△BMN=6

3

•

4-u

u

=6

3

•

4 u2 - 1 u

=6

3

•

4( 1 u - 1 8 )2 - 1 16

由u∈（0，1]?

1

u

∈[1，+∞)
∴當(dāng)

1

u

=1，即t=0時(shí)，△BMN面積最小值為18．

點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)求解．