Question

函數f（x）=

1

3

ax3+

1

2

ax2-2ax+2a+1的圖象經過四個象限的充要條件是

 

．

Answer 1

分析：利用導數研究函數的單調性，可得f（-2）與f（1）中，一個是函數的極大值而另一個是函數的極小值．結合題意可得f（-2）•f（1）＜0，得到關于a的不等式，解之即可得出實數a的范圍，從而得到所求充要條件．

解答：解：∵f（x）=

1

3

ax3+

1

2

ax2-2ax+2a+1，
∴求導數，得f′（x）=a（x-1）（x+2）．
①a=0時，f（x）=1，不符合題意；
②若a＜0，則當x＜-2或x＞1時，f′（x）＜0；當-2＜x＜1時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-2，1）是為增函數，在（-∞，-2）、（1，+∞）上為減函數；
③若a＞0，則當x＜-2或x＞1時，f′（x）＞0；當-2＜x＜1時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-2，1）是為減函數，在（-∞，-2）、（1，+∞）上為增函數
因此，若函數的圖象經過四個象限，必須有f（-2）•f（1）＜0，
即（

16a

3

+1）（

5a

6

+1）＜0，解之得-

6

5

＜a＜-

3

16

．
故答案為：-

6

5

＜a＜-

3

16

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性與極值、函數的圖象、充要條件的判斷等知識，屬于基礎題．