Question

已知點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別是（-2，0）、（2，0），直線EP，F(xiàn)P相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積為．
（1）求證：點(diǎn)P的軌跡在橢圓上；
（2）設(shè)過(guò)原點(diǎn)O的直線AB交（1）題中的橢圓C于點(diǎn)A、B，定點(diǎn)M的坐標(biāo)為，試求△MAB面積的最大值，并求此時(shí)直線AB的斜率k_AB；
（3）某同學(xué)由（2）題結(jié)論為特例作推廣，得到如下猜想：
設(shè)點(diǎn)M（a，b）（ab≠0）為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)橢圓C中心的直線AB與橢圓分別交于A、B兩點(diǎn)．則當(dāng)且僅當(dāng)k_OM=-k_AB時(shí)，△MAB的面積取得最大值．
問(wèn)：此猜想是否正確？若正確，試證明之；若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別是（-2，0）、（2，0），直線EP，F(xiàn)P相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積為．我們?cè)O(shè)出P（x，y），進(jìn)而得到x，y之間的關(guān)系式，整理后即可得到點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx，A（x₁，kx₁），則B（-x₁，-kx₁），聯(lián)立直線和橢圓的方程，我們可得，利用弦定公式，求出AB的長(zhǎng)，利用點(diǎn)到直線公式，求出M點(diǎn)直線AB的距離求出AB邊的高，可以得到△MAB面積的表達(dá)式，進(jìn)而求出△MAB面積m的取值范圍，得到△MAB面積m的，代入可求出對(duì)應(yīng)的k值．
（3）設(shè)M（1，4），根據(jù)（2）的計(jì)算辦法，我們易求出，△MAB的面積取得最大值時(shí)，并求出此進(jìn)k_OM及k_AB的值，驗(yàn)證后，可得猜想不成立．
解答：證明：（1）設(shè)P（x，y），由直線PE，PF的斜率均存在可知，x≠±2
由題意可得，
整理可得，（x≠±2）
點(diǎn)P的軌跡為橢圓上
（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx，A（x₁，kx₁），則B（-x₁，-kx₁）
聯(lián)立方程
整理可得
AB=2OA==
∵M(jìn)（）到直線AB的距離d=
==m
則4（1-m²）k²-4k+1-m²=0
則4²-4•4（1-m²）•（1-m²）≥0
即（1-m²）²≤1
又由m≥0可得
0≤m≤
即三角形MAB的最大值為
代入4（1-m²）k²-4k+1-m²=0得
k=
（3）設(shè)M（1，），則M點(diǎn)在橢圓內(nèi)
由（2）中推導(dǎo)過(guò)程，可得
當(dāng)k_0M=，k_AB=-1時(shí)，△MAB的面積取得最大值
此時(shí)k_OM≠-k_AB，
故猜想：點(diǎn)M（a，b）（ab≠0）為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，
過(guò)橢圓C中心的直線AB與橢圓分別交于A、B兩點(diǎn)．
則當(dāng)且僅當(dāng)k_OM=-k_AB時(shí)，△MAB的面積取得最大值正確
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，其中（1）的關(guān)鍵是分別求出兩條直線的斜率，進(jìn)而得到P點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)的關(guān)系式，（2）的關(guān)鍵是得到△MAB面積的表達(dá)式，（3）中正面證明比較麻煩，可以舉出一反例，推反前面的猜想．