Question

已知橢圓W的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，兩條準(zhǔn)線間的距離為6，橢圓的左焦點(diǎn)為F，過左焦點(diǎn)與x軸的交點(diǎn)M任作一條斜率不為零的直線l與橢圓W交于不同的兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C．
（1）求橢圓W的方程；
（2）求證：．

Answer 1

（1）解：設(shè)橢圓W的方程為：=1（a＞b＞0），由題意可知，a²=b²+c²，2×=6，解得a=，c=2，b=，所以橢圓W的方程為．
（2）證明：因?yàn)樽鬁?zhǔn)線方程為x=-=-3，所以點(diǎn)M坐標(biāo)為（-3，0）．
于是可設(shè)直線l的方程為y=k（x+3），點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x₁，-y₁），y₁=k（x₁+3），y₂=k（x₂+3）．
由橢圓的第二定義可得 ==，
所以B，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線，即．
分析：（1）根據(jù)離心率，準(zhǔn)線和a，b和c的關(guān)系，聯(lián)立方程求得a，b和c，即可求得橢圓的方程；
（2）根據(jù)準(zhǔn)線方程可求得M的坐標(biāo)，設(shè)直線l的方程為y=k（x+3），根據(jù)橢圓的第二定義判斷出B，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線，即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的定義與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用橢圓的定義與性質(zhì)．