Question

設(shè)n為奇數(shù)，則7

C

1 n

+72

C

2 n

+…+7n

C

n n

除以9的余數(shù)為

7

．

Answer 1

分析：所給的式子即 （9-1）ⁿ-1 的展開(kāi)式，除了最后2項(xiàng)外，其余的各項(xiàng)都能被9整除，故此式除以9的余數(shù)即最后2項(xiàng)除以9的余數(shù)．

解答：解：由于n為奇數(shù)，7

C

1 n

+72

C

2 n

+…+7n

C

n n

=（1+7）ⁿ-1=（9-1）ⁿ-1=

C

0 9

•99•(-1)0+

C

1 9

•98•(-1)1+

C

2 9

•97•(-1)2 
+…+

C

8 9

•91•(-1)8+

C

9 9

•90•(-1) 9-1，
顯然，除了最后2項(xiàng)外，其余的各項(xiàng)都能被9整除，故此式除以9的余數(shù)即最后2項(xiàng)除以9的余數(shù)．
而最后2項(xiàng)的和為-2，它除以9的余數(shù)為7，
故答案為 7．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．