Question

袋中裝有4個黑球和3個白球共7個球，現有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時即終止．每個球在每一次被取出的機會是等可能的，用ξ表示取球終止時所需的取球次數．
（Ⅰ）求恰好取球3次的概率；
（Ⅱ）求隨機變量ξ的概率分布；
（Ⅲ）求恰好甲取到白球的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知每個球在每一次被取出的機會是等可能的，直到兩人中有一人取到白球時即終止，看出試驗包含的所有事件數和滿足條件的事件數，得到概率．
（2）用ξ表示取球終止時所需的取球次數，共有4個黑球，所以最多取5次結束，得到變量的取值，看出變量對應的事件，類似于上一問得到分布列．
（3）甲先取，甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球．這三種情況是互斥關系，根據互斥事件的概率公式得到結果．

解答：解：（Ⅰ）由題意知每個球在每一次被取出的機會是等可能的，
直到兩人中有一人取到白球時即終止
∴恰好取球3次的概率P1=

4×3×3

7×6×5

=

6

35

；
（Ⅱ）由題意知，ξ的可能取值為1、2、3、4、5，
P(ξ=1)=

3

7

，P(ξ=2)=

4×3

7×6

=

2

7

，
P(ξ=3)=

4×3×3

7×6×5

=

6

35

，
P(ξ=4)=

4×3×2×3

7×6×5×4

=

3

35

，
P(ξ=5)=

4×3×2×1×3

7×6×5×4×3

=

1

35

．
∴取球次數ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	4	5
P	3 7	2 7	6 35	3 35	1 35

（Ⅲ）∵甲先取，
∴甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球．
記“甲取到白球”的事件為A．
則P（A）=P（“ξ=1”或“ξ=3”或“ξ=5”）．
∵“ξ=1”、“ξ=3”、“ξ=5”對應的事件兩兩互斥，
∴P（A）=P（ξ=1）+P（ξ=3）+P（ξ=5）=

3

7

+

6

35

+

1

35

=

22

35

．
∴恰好甲取到白球的概率為

22

35

．

點評：考查運用概率知識解決實際問題的能力，相互獨立事件是指，兩事件發(fā)生的概率互不影響，而對立事件是指同一次試驗中，不會同時發(fā)生的事件，遇到求用至少來表述的事件的概率時，往往先求它的對立事件的概率．