Question

（2013•鐵嶺模擬）設(shè)函數(shù)f(x)=

1

2

x2-tx+3lnx，g(x)=

2x+t

x2-3

，已知x=a，x=b為函數(shù)f（x）的極值點（0＜a＜b）
（1）求函數(shù)g（x）在（-∞，-a）上的單調(diào)區(qū)間，并說明理由．
（2）若曲線g（x）在x=1處的切線斜率為-4，且方程g（x）-m=0有兩個不相等的負實根，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系即可求出；
（2）先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出t，進而得出得出單調(diào)區(qū)間并由此畫出圖象即可求出．

解答：解：（1）∵f′(x)=x-t+

3

x

=

x2-tx+3

x

，又x=a，x=b為函數(shù)f（x）的極值點，
∴a，b是方程x²-tx+3=0的兩根，∴a+b=t，ab=3．
又g′(x)=-

2(x2+tx+3)

(x2-3)2

=-

2[x2+(a+b)x+3]

(x2-3)2

=-

2(x+a)(x+b)

(x2-3)2

．
∵0＜a＜b，ab=3，∴0＜a＜

3

＜b，∴-b＜-

3

＜-a＜0．
當(dāng)x∈(-b，-

3

)和(-

3

，-a)時，g^′（x）＞0；當(dāng)x∈（-∞，-b）時，g^′（x）＜0．
∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-b，-

3

)和(-

3

，-a)；單調(diào)遞減為（-∞，-b）．
（2）由g^′（1）=-

2(4+t)

22

=-4，解得t=4．
∴g（x）=

2x+4

x2-3

，g′(x)=-

2(x+1)(x+3)

(x2-3)2

．
令g^′（x）=0，解得x=-3或-1．
當(dāng)x∈（-∞，0]時，列表如圖：
由表格可知：當(dāng)x=-3時，g（x）取得極小值-

1

3

；當(dāng)x=-1時，g（x）取得極大值-1．
由圖象可知：
當(dāng)-

1

3

＜m＜0或-

4

3

≤m＜-1時，方程g（x）-m=0有兩個不相等的負實根．

點評：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和圖象是解題的關(guān)鍵．