Question

17、過拋物線y²=4x的焦點F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A、B兩點．
（1）求AB的中點C到拋物線準線的距離；
（2）求線段AB的長．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)拋物線的焦點坐標和直線的傾斜角可表示出直線AB的方程，然后聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得到兩根之和與兩根之積進而可得到中點C的橫坐標求出AB的中點C到拋物線準線的距離．
（2）根據(jù)（1）中所求的兩根之和與兩根之積結(jié)合兩點間的距離公式即可得到答案．

解答：解：（1）拋物線y²=4x的焦點坐標為（1，0），準線方程為x=-1，
直線AB的方程為y=x-1，
設點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
將y=x-1代入y²=4x得x²-6x+1=0．
則x₁+x₂=6，x₁•x₂=1．
故中點C的橫坐標為3．
所以中點C到準線的距離為3+1=4．
（2）∵|AB|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=（x₁-x₂）²+[（x₁-1）+（x₂-1）]²=2（x₁-x₂）²
=2[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=2（36-4）=64
∴|AB|=8．

點評：本題主要考查直線與拋物線的綜合問題和兩點間的距離公式．直線與圓錐曲線的綜合問題一直都是高考的重點，要著重復習．