Question

已知數(shù)列a_n滿足遞推關(guān)系式：2a_n+1=1-a_n²（n≥1，n∈N），且0＜a₁＜1．
（1）求a₃的取值范圍；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：（n≥3，n∈N）；
（3）若，求證：（n≥3，n∈N）．

Answer 1

解：（1）∵，且a₁∈（0，1），由二次函數(shù)性質(zhì)可知a₂∈（0，）．
∵及∴
（2）證明：①在（1）的過程中可知n=3時(shí)，，
則-，
于是當(dāng)n=3時(shí)，成立．
②假設(shè)在n=k（k≥3）時(shí)，（*）成立，即．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，=，
其中0＜
于是，
從而n=k+1時(shí)（*）式得證．
綜合①②可知：n≥3，n∈{N}時(shí)．

（3）由變形為：，
而由（n≥3，n∈N）
可知：在n≥3上恒成立，
于是，
又∵，∴，
從而原不等式（n≥3，n∈N）得證．（14分）
分析：（1）由題設(shè)知，且a₁∈（0，1），由二次函數(shù)性質(zhì)可知a₂∈（0，）．由此能求出a₃的取值范圍；（2）用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，證明過程中要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．
（3）由變形為：，由此入手能夠得到證明．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，挖掘題設(shè)中的隱含條件，注意數(shù)學(xué)歸納法的解題過程．