Question

如圖，已知兩個(gè)正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1和2，AB=4．
（Ⅰ）證明PQ⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求異面直線AQ與PB所成的角；
（Ⅲ）求點(diǎn)P到平面QAD的距離．

Answer 1

【答案】分析：法一：（Ⅰ）連接AC、BD，設(shè)AC∩BD=O．證明PQ⊥平面ABCD，只需說(shuō)明P、O、Q三點(diǎn)在一條直線上，QO⊥平面ABCD即可；
（Ⅱ）直線CA、DB、QP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)，求異面直線AQ與PB所成的角；
（Ⅲ）設(shè)是平面QAD的一個(gè)法向量，利用，求點(diǎn)P到平面QAD的距離．
法二：（Ⅰ）．取AD的中點(diǎn)M，連接PM，QM．要證PQ垂直平面ABCD，只需證明PQ垂直平面ABCD內(nèi)的兩條相交直線AD，AB即可．
（Ⅱ）．連接AC、BD設(shè)AC∩BD=O，．∠BPN（或其補(bǔ)角）是異面直線AQ與PB所成的角，利用余弦定理解三角形BPN，求出異面直線AQ與PB所成的角；
（Ⅲ）．由（Ⅰ）知，AD⊥平面PQM，所以平面PQM⊥平面QAD、過(guò)P作PH⊥QM于H，則PH⊥平面QAD，所以PH的長(zhǎng)為點(diǎn)P到平面QAD的距離．解三角形PHQ即可．
解答：解法一：（Ⅰ）連接AC、BD，設(shè)AC∩BD=O．由P-ABCD與Q-ABCD
都是正四棱錐，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD．
從而P、O、Q三點(diǎn)在一條直線上，所以PQ⊥平面ABCD．
（II）由題設(shè)知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD．
由（I），PQ⊥平面ABCD，
故可以分別以直線CA、DB、QP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），由題設(shè)條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是P（0，0，1），Q（0，0，-2），
所以，，
于是．
從而異面直線AQ與PB所成的角是．
（Ⅲ）．由（Ⅱ），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，-，0），，，
設(shè)是平面QAD的一個(gè)法向量，
由得．
取x=1，得．
所以點(diǎn)P到平面QAD的距離．．
解法二：（Ⅰ）．取AD的中點(diǎn)M，連接PM，QM．
因?yàn)镻-ABCD與Q-ABCD都是正四棱錐，
所以AD⊥PM，AD⊥QM．從而AD⊥平面PQM．
又PQ?平面PQM，所以PQ⊥AD、同理PQ⊥AB，
所以PQ⊥平面ABCD、
（Ⅱ）．連接AC、BD設(shè)AC∩BD=O，由PQ⊥平面ABCD及正四棱錐的性質(zhì)可知O在
PQ上，從而P、A、Q、C四點(diǎn)共面．
取OC的中點(diǎn)N，連接PN．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212055443220554/SYS201310232120554432205017_DA/16.png">，
所以，
從而AQ∥PN．∠BPN（或其補(bǔ)角）是異面直線AQ
與PB所成的角．連接BN，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212055443220554/SYS201310232120554432205017_DA/18.png">．
所以．
從而異面直線AQ與PB所成的角是．
（Ⅲ）．由（Ⅰ）知，AD⊥平面PQM，所以平面PQM⊥平面QAD、過(guò)P作PH⊥QM
于H，則PH⊥平面QAD，所以PH的長(zhǎng)為點(diǎn)P到平面QAD的距離．
連接OM，則．
所以∠MQP=45°，
又PQ=PO+QO=3，于是．
即點(diǎn)P到平面QAD的距離是
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計(jì)算能力，是中檔題．