Question

已知向量

a

=（sinx，

3

cosx），

b

=（cosx，cosx），若函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（1）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）得最小值．
（2）求函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用平面向量的數(shù)量積與三角恒等變換化簡f（x），求出x∈[0，

π

2

]時f（x）的最小值；
（2）由三角函數(shù)的單調(diào)性，求出f（x）的遞增區(qū)間．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（sinx，

3

cosx），

b

=（cosx，cosx），
∴f（x）=

a

•

b

=sinxcosx+

3

cos²x
=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+

3

2

=sin(2x+

π

3

)+

3

2

；
令t=2x+

π

3

，
∵x∈[0，

π

2

]，∴t∈[

π

3

，

4π

3

]；
f(t)=sin(t)+

3

2

，t∈[

π

3

，

4π

3

]；
當(dāng)t=

4π

3

時，f（t）有最小值f（t）_min=0，
即當(dāng)x=

π

2

時，f（x）_min=0；
（2）∵f(x)=sin(2x+

π

3

)+

3

2

，
且-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，
∴-

5π

6

+2kπ≤2x≤

π

6

+2kπ，
∴-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ；
∴f（x）的遞增區(qū)間為[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]，k∈z．

點評：本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用以及三角恒等變換問題，是綜合題．