Question

20．如圖，在矩形ABCD中，已知AD=1.5，AB=a（a＞1.5），E，F(xiàn)，G，H分別是邊AD，AB，BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AE=AF=CG=CH．若AE=x，當(dāng)x變化時(shí)．
（1）求四邊形EFGH的面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式，寫出其定義域．
（2）當(dāng)x取何值時(shí)，S有最大值，并求出其最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AE=x，四邊形EFGH的面積為S，則S=1.5a-x²-（1.5-x）（a-x），x∈（0，1.5]．
（2）化簡(jiǎn)并配方，可得函數(shù)的對(duì)稱軸，從而分類討論區(qū)間和對(duì)稱軸的關(guān)系，可求函數(shù)的最大值．

解答 解：設(shè)AE=x，四邊形EFGH的面積為S，
則S=1.5a-x²-（1.5-x）（a-x）
=-2x²+（a+1.5）x
=-2（x-$\frac{a+1.5}{4}$）²+$\frac{（a+1.5）^{2}}{8}$，x∈（0，1.5]，
（1）若$\frac{a+1.5}{4}$≤1.5，即1.5＜a≤4.5，
則當(dāng)x=$\frac{a+1.5}{4}$時(shí)，S取得最大值是S_max=$\frac{（a+1.5）^{2}}{8}$；
（2）若$\frac{a+1.5}{4}$＞1.5，即a＞4.5，
函數(shù)S=-2x²+（a+1.5）x在區(qū)間（0，1.5]上是增函數(shù)，
則當(dāng)x=1.5時(shí)，S取得最大值是S_max=1.5a-2，25．
綜上可得EFGH的面積的最大值為$\left\{\begin{array}{l}{\frac{（a+1.5）^{2}}{8}，1.5＜a≤4.5}\\{1.5a-2.25，a＞4.5}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題以實(shí)際問題為載體，考查二次函數(shù)模型的構(gòu)建，考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值討論，解題的關(guān)鍵是針對(duì)函數(shù)的定義域，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱軸分類討論．