【題目】已知 n 個(gè)四元集合 A1 , A2 ,…, An ,每兩個(gè)有且只有一個(gè)公共元 ,并且有Card(A1 A2 An)=n .試求 n 的最大值.這里 Card A 為集合A中元素的個(gè)數(shù) .

【答案】13

【解析】

考慮任一元.

如果每個(gè) Ai 均含有a , 則由條件知, Ai 中的其他元素都不相同.

,與已知條件相違.

因此, 必有一個(gè) Ai 不含a .

不妨設(shè) aA1 .若含 a 的集合大于或等于 5個(gè), 那么, 由已知條件得知 A1與這 5個(gè)集合各有一個(gè)公共元(此元當(dāng)然不等于a), 而且這 5個(gè)元互不相同(若相同, 則這個(gè)公共元是2個(gè)含 a 的集合的公共元 , 于是, 這兩個(gè)集合就有 2 個(gè)公共元, 又與已知條件相違), 從而, Card A1≥5, 矛盾.所以 , a的集合小于或等于 4 個(gè).

另一方面, 因?yàn)?/span>,所以, 每個(gè)元恰好屬于 4個(gè)集合.

不妨設(shè)含有元 b 的集合為 A1 、A2A3 、A4.

由上述的結(jié)論可知.

如果 n >13, 那么, 存在元 c A1A2A3A4.設(shè)含 c 的集合為 A5, A5不是.因而, 不含 b . A5各有一個(gè)公共元(當(dāng)然不是 b), 4個(gè)公共元互不相同(理由同上), 又都不是 c從而,矛盾.

因此, n ≤13.

n ≤13 是可能的.例如, 不難驗(yàn)證, 如下的13個(gè)集合符合要求.

{0, 1, 2, 3},{0, 4, 5, 6},{0, 7, 8, 9},{0, 10, 11, 12},{10, 1, 4, 7}, {10, 2, 5, 8}, {10, 3, 6, 9},{11, 1, 5, 9},{11, 2, 6, 7}, {11, 3, 4, 8}, {12, 1, 6, 8},{12, 2, 4, 9},{12, 3, 5, 7}.

n 的最大值為13.

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(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預(yù)測2018年我國生活垃圾無害化處理量.

附注:

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