Question

12．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|，|$\overrightarrow$|，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|∈[1，3]．則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的取值范圍是[-$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求出|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$，且$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$時$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$取得最大值，|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=3，且$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$時$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$取得最小值．

解答 解：平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|，|$\overrightarrow$|，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|∈[1，3]；
∴${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$∈[1，9]；
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$∈[$\frac{1}{2}$-$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow}^{2}}{2}$，$\frac{9}{2}$-$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow}^{2}}{2}$]；
當(dāng)|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$，且$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$時，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=3，
此時$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$×cos$\frac{π}{3}$=$\frac{3}{2}$，取得最大值；
當(dāng)|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=3，且$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$時，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=3，
此時$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=3×3×cos$\frac{2π}{3}$=-$\frac{9}{2}$，取得最小值；
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的取值范圍是[-$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{2}$]．
故答案為：[-$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

點評 本題考查了平面向量數(shù)量積的定義與應(yīng)用問題，是綜合題．