Question

14．函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{1}{2}{x^2}$+ax（a∈R），g（x）=e^x+$\frac{3}{2}{x^2}$．
（1）討論f（x）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）若對(duì)于?x＞0，總有f（x）≤g（x）．（i）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（ii）求證：對(duì)于?x＞0，不等式e^x+x²-（e+1）x+$\frac{e}{x}$＞2成立．

Answer 1

分析 （1）求f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），根據(jù)x＞0求出f'（x）的值域，討論a的值得出f′（x）的正負(fù)情況，判斷f（x）的單調(diào)性和極值點(diǎn)問題；
（2）（i）f（x）≤g（x）等價(jià)于e^x-lnx+x²≥ax，由x＞0，利用分離常數(shù)法求出a的表達(dá)式，再構(gòu)造函數(shù)求最值即可；
（ii）由（ i）結(jié)論，a=e+1時(shí)有f（x）≤g（x），得出不等式，再進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，證明轉(zhuǎn)化的命題成立即可．

解答 解：（1）由題意得f'（x）=x+$\frac{1}{x}$+a=$\frac{{x}^{2}+ax+1}{x}$，
當(dāng)a²-4≤0，即-2≤a≤2時(shí)，f'（x）≥0恒成立，無極值點(diǎn)；
當(dāng)a²-4＞0，即a＜-2或a＞2時(shí)，
①a＜-2時(shí)，設(shè)方程x²+ax+1=0兩個(gè)不同實(shí)根為x₁，x₂，不妨設(shè)x₁＜x₁，x₂，
則x₁+x₂=-a＞0，x₁x₂=1＞0，故0＜x₁＜x₂，
∴x₁，x₂是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)．
②a＞2時(shí)，設(shè)方程x²+ax+1=0兩個(gè)不同實(shí)根為x₁，x₂，
則x₁+x₂=-a＜0，x₁x₂=1＞0，故x₁＜0，x₂＜0，
故函數(shù)沒有極值點(diǎn)．
綜上，當(dāng)a＜-2時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；
當(dāng)a≥-2時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)．
（2）（i）f（x）≤g（x）等價(jià)于e^x-lnx+x²≥ax，
由x＞0，即a≤$\frac{{e}^{x}{+x}^{2}-lnx}{x}$對(duì)于?x＞0恒成立，
設(shè)φ（x）=$\frac{{e}^{x}{+x}^{2}-lnx}{x}$（x＞0），
φ′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）+lnx+（x+1）（x-1）}{{x}^{2}}$，
∵x＞0，∴x∈（0，1）時(shí)，φ'（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減，
x∈（1，+∞）時(shí)，φ'（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增，
∴φ（x）≥φ（1）=e+1，
∴a≤e+1．
（ii）（ ii）由（ i）知，當(dāng)a=e+1時(shí)有f（x）≤g（x），
即：e^x+$\frac{3}{2}$x²≥lnx+$\frac{1}{2}$x²+（e+1）x，
等價(jià)于e^x+x²-（e+1）x≥lnx…①當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，
以下證明：lnx+$\frac{e}{x}$≥2，
設(shè)θ（x）=lnx+$\frac{e}{x}$，則θ′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{e}{{x}^{2}}$=$\frac{x-e}{{x}^{2}}$，
∴當(dāng)x∈（0，e）時(shí)θ'（x）＜0，θ（x）單調(diào)遞減，
x∈（e，+∞）時(shí)θ'（x）＞0，θ（x）單調(diào)遞增，
∴θ（x）≥θ（e）=2，
∴l(xiāng)nx+$\frac{e}{x}$≥2，②當(dāng)且僅當(dāng)x=e時(shí)取等號(hào)；
由于①②等號(hào)不同時(shí)成立，故有e^x+x²-（e+1）x+$\frac{e}{x}$＞2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題，也考查了求函數(shù)最值與不等式恒成立問題，是綜合性問題．