Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=-a_n-（）^n-1+2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令c_n=a_n，T_n為數(shù)列{c_n}的前n項和，試比較T_n與的大�。�

Answer 1

解：（1）由題意知a₁=-a₁-1+2，∴．
當(dāng)n≥2時，，
∴．
∴，即2ⁿ•a_n=2^n-1a_n-1+1，
設(shè)b_n=2ⁿa_n，則b_n-b_n-1=1，
∵b₁=2a₁=1，∴b_n=1+（n-1）=n=2ⁿa_n，
∴．
（2）由（1）得，
∴，①
=②
①-②得
=
=，
∴．
T_n-=．
于是確定T_n與的大小等價于比較2ⁿ與2n+1的大小，
由2＜2×1+1，2²＜2×2+1，2³＞2×3+1，2⁴＞2×4+1，
可猜想當(dāng)n≥3時，2ⁿ＞2n+1，證明如下．
（1）當(dāng)n=3時，2³＞2×3+1，猜想成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時，猜想成立，即2^k＞2k+1．
當(dāng) n=k+1時，2^k+1=2•2^k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k-1）＞2（k+1）-1．
所以，當(dāng)n=k+1時，猜想也成立．
綜合（1）（2）可知，對一切n≥3的正整數(shù)，都有2ⁿ＞2n+1．
∴當(dāng)n=1，2時，T_n＜．當(dāng)n≥3時，T_n≥．
分析：（1）由題意知．，所以．同眥可知2ⁿ•a_n=2^n-1a_n-1+1，b_n=2ⁿa_n，則b_n=1+（n-1）=n=2ⁿa_n，由此可知．
（2）由（1）得，，=，由錯位相減法知．由此入手可證出當(dāng)n=1，2時，T_n＜．當(dāng)n≥3時，T_n≥．
點評：本題考查數(shù)列的知識和不等式的證明，解題時要認真審題，仔細解答．