Question

己知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為e=，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線x-y+2=0相切，A，B分別是橢圓的左右兩個頂點，P為橢圓C上的動點．
（I）求橢圓的標準方程；
（II） M為過P且垂直于x軸的直線上的點，若=λ，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

Answer 1

【答案】分析：（I）寫出圓的方程，利用直線與圓相切的充要條件列出方程求出b的值，利用橢圓的離心率公式得到a，c的關(guān)系，再利用橢圓本身三個參數(shù)的關(guān)系求出a，c的值，將a，b的值代入橢圓的方程即可．
（II）設出M的坐標，求出P的坐標，利用兩點的距離公式將已知的幾何條件用坐標表示，通過對參數(shù)λ的討論，判斷出M的軌跡．
解答：解：（Ⅰ）由題意，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓的方程為x²+y²=b²，
∵直線x-y+2=0與圓相切，∴d==b，即b=，
又e=，即a=c，
∵a²=b²+c²，
∴a=，c=1，
∴橢圓方程為． 
（Ⅱ）設M（x，y），其中x∈[-，]．
由已知及點點P在橢圓C上可得==λ²，
整理得（3λ²-1）x²+3λ²y²=6，其中x∈[-，]．
①當λ=時，化簡得y²=6，
∴點M軌跡方程為y=（），軌跡是兩條平行于x的線段；
②當λ≠時時，方程變形為，其中x∈[-，]．
當0＜λ＜時，點M軌跡為中心在原點、實軸在y軸上的雙曲線滿足的部分；
當時，點M軌跡為中心在原點、長軸在x上的橢圓滿足的部分；
當λ≥1時，點M軌跡為中心在原點、長軸在x上的橢圓．
點評：本題重點考查圓錐曲線的方程，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學思想，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求圓錐曲線的方程．