Question

函數(shù)f（x）=-x²+bx+c（x∈R）滿足f（x-1）=f（3-x），且方程f（x）=0的兩個(gè)根x₁，x₂滿足|x1-x2|=2

2

．
（1）求f（x）解析式；
（2）若a＞1，函數(shù)y=f（a^x）在x∈[-2，1]上的最小值為-7，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先利用函數(shù)的對(duì)稱性和二次函數(shù)的性質(zhì)，求得b的值，再利用一元二次方程韋達(dá)定理，列方程即可解得c的值；
（2）先由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出a^x的取值范圍，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最小值，由已知列方程即可解得a的值

解答：解：（1）∵f（x-1）=f（3-x），∴函數(shù)f（x）=-x²+bx+c的對(duì)稱軸為

(x-1)+(3-x)

2

=1
∴-

b

-2

=1，∴b=2
∵方程f（x）=0的兩個(gè)根x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2，x₁•x₂=-c
∴|x1-x2|=

(x1+x2) 2-4x1x2

=

4+4c

=2 

2

∴c=1
∴f（x）=-x²+2x+1
（2）∵x∈[-2，1]，∴a^x∈[

1

a2

，a]
又∵a＞1，則

1

a2

＜1且a＞1，
函數(shù)y=f（a^x）在x∈[-2，1]上的最小值為-7，
則有f（a）=-a²+2a+1=-7或f（

1

a2

）=-（

1

a2

）²+2（

1

a2

）+1=-7
解可得a=4或a=

1

2

，
又由a＞1，則a=4；
故a=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，抽象表達(dá)式的意義，一元二次方程韋達(dá)定理的應(yīng)用，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷及其最值的求法