Question

已知甲、乙、丙等6人．
（1）這6人同時(shí)參加一項(xiàng)活動(dòng)，必須有人去，去幾人自行決定，共有多少種不同的去法？
（2）這6人同時(shí)參加6項(xiàng)不同的活動(dòng)，每項(xiàng)活動(dòng)限1人參加，其中甲不參加第一項(xiàng)活動(dòng)，乙不參加第三項(xiàng)活動(dòng)，共有多少種不同的安排方法？
（3）這6人同時(shí)參加4項(xiàng)不同的活動(dòng)，求每項(xiàng)活動(dòng)至少有1人參加的概率．

Answer 1

分析：（1）分別求出這6個(gè)人只去1個(gè)人、只去2個(gè)人、只去3個(gè)人、只去4個(gè)人、只去5個(gè)人，6的人全去的方法數(shù)，相加
即得所求．
（2）所有的安排方法共有

A

6 6

種，求得甲參加第一項(xiàng)活動(dòng)的方法有

A

5 5

種，乙參加第三項(xiàng)活動(dòng)的方法有

A

5 5

種，甲
參加第一項(xiàng)活動(dòng)而且乙參加第三項(xiàng)活動(dòng)的方法有

A

4 4

種，
則 

A

6 6

-2

A

5 5

+

A

4 4

 的結(jié)果即為所求．
（3）求得每項(xiàng)活動(dòng)至少有1人參加的方法有 （

C

3 6

+

1

2

C

2 6

•

C

2 4

）•

A

4 4

種，再求得所有的安排方法共有 4⁶ 種，
由此求得每項(xiàng)活動(dòng)至少有1人參加的概率．

解答：解：（1）分別求出這6個(gè)人只去1個(gè)人、只去2個(gè)人、只去3個(gè)人、只去4個(gè)人、只去5個(gè)人，6的人全去的方法數(shù)，
分別為

C

1 6

、

C

2 6

、

C

3 6

、

C

4 6

、

C

5 6

、

C

6 6

，
故共有

C

1 6

+

C

2 6

+

C

3 6

+

C

4 6

+

C

5 6

+

C

6 6

=2⁶-1=63 種方法．
（2）所有的安排方法共有

A

6 6

種，其中甲參加第一項(xiàng)活動(dòng)的方法有

A

5 5

種，乙參加第三項(xiàng)活動(dòng)的方法有

A

5 5

種，
甲參加第一項(xiàng)活動(dòng)而且乙參加第三項(xiàng)活動(dòng)的方法有

A

4 4

種，
故甲不參加第一項(xiàng)活動(dòng)且乙不參加第三項(xiàng)活動(dòng)的不同的安排方法有

A

6 6

-2

A

5 5

+

A

4 4

=720-240+24=504 種．
（3）這6人同時(shí)參加4項(xiàng)不同的活動(dòng)，每項(xiàng)活動(dòng)至少有1人參加，若各項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)為3、1、1、1時(shí)，有

C

3 6

•

A

4 4

種方法，
若各項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)為2、2、1、1，則有

1

2

C

2 6

•

C

2 4

•

A

4 4

種方法，
故滿足條件的方法數(shù)為 （

C

3 6

+

1

2

C

2 6

•

C

2 4

）•

A

4 4

=65×24種．
而所有的安排方法共有 4⁶ 種，故每項(xiàng)活動(dòng)至少有1人參加的概率為

65×24

46

=

195

512

．

點(diǎn)評：本題主要考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是對于有限制的元素要優(yōu)先排，特殊位置要優(yōu)先排，體現(xiàn)了
分類討論的數(shù)學(xué)思想．當(dāng)直接解的情況比較復(fù)雜時(shí)，可以考慮用間接解法，是一個(gè)中檔題目．