Question

已知圓O：x²+y²=1，點O為坐標原點，一條直線l：y=kx+b（b＞0）與圓O相切并與橢圓交于不同的兩點A、B．
（1）設(shè)b=f（k），求f（k）的表達式；
（2）若，求直線l的方程；
（3）若，求三角形OAB面積的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵y=kx+b（b＞0）與圓x²+y²=1相切，
∴，即b²=k²+1（k≠0），
∴…（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由，消去y得：（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0
又△=8k²＞0（∵k≠0），所以．…（6分）
則=．
由，所以k²=1．
∴b²=2．∵b＞0，∴，
∴．…（9分）
（3）由（2）知：．
∵，∴，∴，
由弦長公式得，所以，
設(shè)2k²+1=t，∴2≤t≤3，S=
∴．…（14分）
分析：（1）根據(jù)y=kx+b（b＞0）與圓x²+y²=1相切，可得，即可求f（k）的表達式；
（2）直線與橢圓方程聯(lián)立，，利用韋達定理及，即可求得直線l的方程；
（3）確定，利用弦長公式，求|AB|，從而可求△OAB面積的取值范圍．
點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查三角形的面積的計算，解題的關(guān)鍵是利用直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．