Question

函數(shù)f（x）=x³-3tx+m（x∈R，m和t為常數(shù)）是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)m的值和函數(shù)f（x）的圖象與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)g（x）=|f（x）|（x∈[-1，1]），求g（x）的最大值F（t）；
（3）求F（t）的最小值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出m的值，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，令f（x）=0即可求出x的值，從而求出與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）g（x）=|x³-3xt|（x∈[0，1]）是偶函數(shù)，所以只要求出g（x）=|x³-3xt|（x∈[0，1]）的最大值即可．
（3）F（t）在（-∞，

1

4

）上為減函數(shù)，

在[ 1 4 ，+∞)為增函數(shù)

，所以t=

1

4

時(shí)，F(xiàn)（t）取得最小值．

解答：解：（1）由于f（x）為奇函數(shù)，易得m=0…（1分）
設(shè)f（x）=x³-3tx=x（x²-3t）=0
①當(dāng)3t＜0時(shí)，上述方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根x=0，所以f（x）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）
②當(dāng)3t=0時(shí)，上述方程有三個(gè)相等實(shí)數(shù)根x=0，所以f（x）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）
③當(dāng)3t＞0時(shí)，上述方程的解為x₁=0，x_2，3=±

3t

，所以f（x）與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為：（0，0），（

3t

，0)，(-

3t

，0）…（4分）（少一種情況扣1分）
（2）顯然g（x）=|x³-3xt|（x∈[0，1]）是偶函數(shù)，
所以只要求出g（x）=|x³-3xt|（x∈[0，1]）的最大值即可．又f'（x）=3（x²-t）
①t≤0時(shí)，則在[0，1]上f（x）為增函數(shù)，∴f（x）≥f（0）=0∴f（x）=g（x），故F（t）=f（1）=1-3t…（6分）
②t＞0時(shí)，則在[0，1]上f'（x）=3（x+

t

)(x-

t

）
（i）

t

≥1即t≥1時(shí)，則在[0，1]上f（x）為減函數(shù)∴f（x）≤f（0）=0，

&∴g(x)=-f(x)，

故F（t）=-f（1）=3t-1…（8分）
（ii）0＜t＜1時(shí)，則在[0，1]上f'（x）=3（x+

t

)(x-

t

）

x	0	（0， t ）	t	（ t ，1）	1
f'（x）		-	0	+
f（x）	0	↓	極小值-2t t	↑	1-3t

所以可以畫(huà)出g（x）的草圖如下，并且由圖可知：

（1⁰）當(dāng)

t

＜1≤2

t

即

1

4

≤t＜1時(shí)，g(x)的最大值F(t)=-f(

t

)=2t

t

（2⁰）當(dāng)1＞2

t

即0＜t＜

1

4

時(shí)，g（x）的最大值F（t）=f（1）=1-3t…（10分）
綜上所述：F（t）=

1-3t(t＜ 1 4 ) 2t t ( 1 4 ≤t＜1) 3t-1(t≥1)

…（12分）
（3）顯然F（t）在（-∞，

1

4

）上為減函數(shù)，

在[ 1 4 ，+∞)為增函數(shù)

∴F（t）的最小值=F（

1

4

)=

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三次函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性等有關(guān)知識(shí)，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．