Question

已知函數(shù) ，其中a∈R，

（Ⅰ）若a=0，求函數(shù)f（x）的定義域和極值；

（Ⅱ）當a=1時，試確定函數(shù) 的零點個數(shù)，并證明.

 

Answer 1

（Ⅰ）且；函數(shù)有極小值;（Ⅱ）函數(shù)存在兩個零點.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由分母不為0，求出函數(shù)的定義域，利用導數(shù)的正負性，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出極值；（Ⅱ）利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，知函數(shù)是先增后減再增的，又極大值為0，極小值小于0，從而判斷函數(shù)有兩面?zhèn)�零點.

試題解析：【解析】
（Ⅰ）函數(shù)的定義域為且， 2分

．令，得．當變化時，和的變化情況如下：

	－	－		＋
	↘	↘	極小	↗

 

所以的單調(diào)減區(qū)間為，；單調(diào)增區(qū)間．

故當時，函數(shù)有極小值. 5分

（Ⅱ）結(jié)論：函數(shù)存在兩個零點．證明過程如下：由題意，函數(shù)．

因為．所以函數(shù)的定義域為．求導，得

， 7分

令，得，，當變化時，和的變化情況如下：

			—
	↗	極大	↘	極小	↗

故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為，．

當時，函數(shù)有極大值；

當時，函數(shù)有極小值. 10分

因為函數(shù)在單調(diào)遞增，且，所以對于任意，.

因為函數(shù)在單調(diào)遞減，且，所以對于任意，.

因為函數(shù)在單調(diào)遞增，且，，

所以函數(shù)在上存在唯一，使得，

故函數(shù)存在兩個零點（即和）. 12分.

考點：1.利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；2.函數(shù)的定義域及其求法．