Question

某家庭手工坊生產某種兒童玩具，每件玩具的成本為10元，并且每件玩具的加工費為2元，設該手工廠作坊每件玩具的賣出價為x元（15≤x≤21），根據市場調查，日銷售量c=

2k

x2-128

（k為常數）．當每件玩具的出廠價為20元時，日銷售量為10件．
（1）求該手工作坊的日利潤y（元）與每件玩具的出廠價x元的函數關系式；
（2）當每件玩具的售價為多少元時，該手工作坊的利潤y最大，并求y的最大值．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用

專題：應用題,函數的性質及應用

分析：（1）根據日銷售量c=

2k

x2-128

（k為常數），當每件玩具的出廠價為20元時，日銷售量為10件，確定日銷售量函數；
（2）求導數，可得極大值，也是最大值，從而可得結論．

解答： 解：（1）∵日銷售量c=

2k

x2-128

（k為常數），當每件玩具的出廠價為20元時，日銷售量為10件，
∴10=

2k

400-128

，
∴k=1360，
∴日銷售量c=

2720

x2-128

∴日利潤y=（x-10-2）•

2720

x2-128

=（x-12）•

2720

x2-128

（15≤x≤21）；
（2）y′=2720•

x2-128-(x-12)•2x

(x2-128)2

=0，可得x=8或x=16，
∵15≤x≤21，
∴15≤x≤16時，y′＜0，16≤x≤21時，y′＞0，
∴x=16時，函數取得極大值，也是最大值，此時，y=85，
∴當每件玩具的售價為16元時，該手工作坊的利潤y最大為85元．

點評：本題考查數學模型和目標函數的建立，解題的關鍵是把“問題情境”譯為數學語言，找出問題的主要關系，并把問題的主要關系抽象成數學問題，在數學領域尋找適當的方法解決，再返回到實際問題中加以說明．