Question

（2012•洛陽模擬）隨著建設(shè)資源節(jié)約型、環(huán)境友好型社會(huì)的宣傳與實(shí)踐，低碳綠色的出行方式越來越受到追捧，全國各地興起了建設(shè)公共自行車租賃系統(tǒng)的熱潮，據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，已有北京、株洲、杭州、太原、蘇州、深圳等城市建設(shè)成公共自行車租賃系統(tǒng)，某市公共自行車實(shí)行60分鐘內(nèi)免費(fèi)租用，60分鐘以上至120分鐘（含），收取1元租車服務(wù)費(fèi)，120分鐘以上至180分鐘（含），收取2元租車服務(wù)費(fèi)，超過180分鐘以上的時(shí)間，按每小時(shí)3元計(jì)費(fèi)（不足一小時(shí)的按一小時(shí)計(jì)），租車費(fèi)用實(shí)行分段合計(jì)．現(xiàn)有甲，乙兩人相互獨(dú)立到租車點(diǎn)租車上班（各租一車一次），設(shè)甲，乙不超過1小時(shí)還車的概率分別為

1

2

，

1

4

，1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)還車的概率分別為

1

4

，

1

3

，2小時(shí)以上且不超過3小時(shí)還車的概率分別為

1

8

，

1

3

，兩人租車時(shí)間均不會(huì)超過4小時(shí)．
（1）求甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率．
（2）設(shè)甲一周內(nèi)有四天（每天租車一次）均租車上班，X表示一周內(nèi)租車費(fèi)用不超過2元的次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）甲、乙兩人租車費(fèi)用相同包括0，1，3，6元，然后利用互斥事件的概率公式分別求出相應(yīng)的概率，最后求和可求出所求；
（2）X的取值可能為0，1，2，3，4，然后利用二項(xiàng)分布的概率公式分別求出相應(yīng)的概率，列出分布列，最后利用數(shù)學(xué)期望公式解之即可．

解答：解：（1）甲、乙兩人租車費(fèi)用相同包括0，1，3，6元
兩人都付0元的概率為P₁=

1

2

×

1

4

=

1

8

兩人都付1元的概率為P₂=

1

4

×

1

3

=

1

12

兩人都付3元的概率為P₃=

1

8

×

1

3

=

1

24

兩人都付6元的概率為P₄=（1-

1

2

-

1

4

-

1

8

）×（1-

1

4

-

1

3

-

1

3

）=

1

8

×

1

12

=

1

96

則甲，乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率為P=P₁+P₂+P₃+P₄=

25

96

（2）依題意，甲某每天租車費(fèi)用不超過2元的概率為P=

1

2

+

1

4

=

3

4

則P（X=0）=

C

0 4

×(

3

4

)0×(

1

4

)4=

1

256

，P（X=1）=

C

1 4

×(

3

4

)1×(

1

4

)3=

3

64

P（X=2）=

C

2 4

×(

3

4

)2×(

1

4

)2=

27

128

，P（X=3）=

C

3 4

×(

3

4

)3×(

1

4

)1=

27

64

P（X=4）=

C

4 4

×(

3

4

)4×(

1

4

)0=

81

256

∴X的分布列為

X	0	1	2	3	4
P	1 256	3 64	27 128	27 64	81 256

X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=1×

3

64

+2×

27

128

+3×

27

64

+4×

81

256

=3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了獨(dú)立事件、互斥事件的概率，以及離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．