Question

設(shè)函數(shù)f（x）為定義在（0，+∞）的增函數(shù)，且滿足f（x）•f[f（x）+

1

x

]=1，求f（1）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令x=1代入f（x）•f[f（x）+

1

x

]=1，則f（1）•f[f（1）+1]=1，令f（1）=t，可得f（t+1）=

1

t

令x=t+1代入f（x）•f[f（x）+

1

x

]=1，進(jìn)一步可得則f（t+1）f[f（t+1）+

1

t+1

]=1，即f（

1

t

+

1

t+1

）=t，
再由f（1）=t，且f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，得方程

1

t

+

1

t+1

=1，解得f（1）．

解答： 解：令x=1代入f（x）•f[f（x）+

1

x

]=1，則f（1）•f[f（1）+1]=1，
令f（1）=t，則tf（t+1）=1，
∴f（t+1）=

1

t

，
令x=t+1代入f（x）•f[f（x）+

1

x

]=1，則f（t+1）f[f（t+1）+

1

t+1

]=1，
∴

1

t

f（

1

t

+

1

t+1

）=1，
∴f（

1

t

+

1

t+1

）=t，
又∵f（1）=t，且f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
∴

1

t

+

1

t+1

=1，
解得t=

1- 5

2

或t=

1+ 5

2

，
∴f(1)=

1- 5

2

或f(1)=

1+ 5

2

，
如果f（1）＞1，則f（1）+

1

1

＞1，
∵函數(shù)f（x）為定義在（0，+∞）的增函數(shù)，∴f（f（1）+1）＞f（1），
∴f（1）f（f（1）+1）＞f²（1）＞1，這與f（x）•f[f（x）+

1

x

]=1相矛盾，
∴f（1）≤1，
∴f(1)=

1- 5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的問(wèn)題，多次運(yùn)用所給的條件是解題的關(guān)鍵．