Question

如圖,在長方體中,,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn).

(I)求證:平面;
(II)求證:平面;
(III)若二面角的大小為,求的長.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（III）.

試題分析：（Ⅰ）證明平面，就是證明平面，只需證明與平面內(nèi)的兩條直線垂直，即可證明平面；（Ⅱ）證明平面，只需證明與平面的一條直線平行，這里采用證明平行四邊形的目的來證明與平面的一條直線平行；（III）借助空間向量法計(jì)算當(dāng)為時的長.
試題解析：(I)證明:在長方體中,
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824020804880476.png" style="vertical-align:middle;" />平面,所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824020804927521.png" style="vertical-align:middle;" />,所以四邊形為正方形,因此,
又,所以平面.
又,且,
所以四邊形為平行四邊形.
又在上,所以平面.
4分
(II)取的中點(diǎn)為,連接.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824020804178302.png" style="vertical-align:middle;" />為的中點(diǎn),所以且,
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824020804163318.png" style="vertical-align:middle;" />為的中點(diǎn),所以,
而,且,
所以,且,
因此四邊形為平行四邊形,
所以,而平面,
所以平面.
9分
(III)如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),

則,
故.
由(I)可知平面,所以是平面的一個法向量.
設(shè)平面的一個法向量為,則,
所以
令,則,所以.
設(shè)與所成的角為,則.
因?yàn)槎�面�?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824020804287596.png" style="vertical-align:middle;" />的大小為,
所以,即,
解得,
即的長為1.                       14分