Question

設函數f（x）=lnx-ax，a∈R．
（1）當x=1時，函數f（x）取得極值，求a的值；
（2）當a＞0時，求函數f（x）在區(qū)間[1，2]的最大值．

Answer 1

解 （1）f（x）的定義域為（0，+∞），所以f′（x）=-a=．
因為當x=1時，函數f（x）取得極值，
所以f′（1）=1-a=0，解得a=1．
經檢驗，a=1符合題意．
（2）f′（x）=-a=，x＞0．
令f′（x）=0得x=．因為x∈（0，）時，f′（x）＞0，x∈（，+∞）時，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，）上遞增，在（，+∞）上遞減，
①當0＜≤1，即a≥1時，f（x）在（1，2）上遞減，所以x=1時，f（x）取最大值f（1）=-a；
②當1＜＜2，即＜a＜1時，f（x）在（1，）上遞增，在（ ，2）上遞減，
所以x=時，f（x）取最大值f（）=-lna-1；
③當≥2，即0＜a≤時，f（x）在（1，2）上遞增，所以x=2時，f（x）取最大值f（2）=ln2-2a；
綜上，①當0＜a≤時，f（x）最大值為ln2-2a；②當＜a＜1時，f（x）最大值為-lna-1．
③當a≥1時，f（x）最大值為-a．
分析：（1）求導數f′（x），由f′（1）=0即可求得a值；
（2）在函數定義域內先判斷函數f（x）的單調性，由此得其極值點，按極值點與區(qū)間[1，2]的位置關系分三種情況討論：①當0＜≤1，②當1＜＜2，③當≥2，借助單調性即可求得其最大值；
點評：本題考查函數在某點取得極值的條件及利用導數求函數在閉區(qū)間上的最值，考查分類討論思想，考查學生分析問題解決問題的能力．