Question

（2012•德州一模）已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=x²-2x+1，若對(duì)任意x₁∈（0，+∞），總存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由f′(x)=a+

1

x

=

ax+1

x

(x＞0)，進(jìn)行分類討論，能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）由已知，轉(zhuǎn)化為f（x）_max＜g（x）_max，由已知得g（x）_max=g（0）=1，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（I）∵f（x）=ax+lnx（a∈R），
∴f′(x)=a+

1

x

=

ax+1

x

(x＞0)，
①當(dāng)a≥0時(shí)，由于x＞0，故ax+1＞0，f′（x）＞0，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）．
②當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）=0，得x=-

1

a

．
在區(qū)間上（0，-

1

a

），f′（x）＞0，在區(qū)間（-

1

a

，+∞）上，f′（x）＜0，
所以，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，-

1

a

），單調(diào)減區(qū)間為（-

1

a

，+∞）．
故當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）．
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，-

1

a

），單調(diào)減區(qū)間為（-

1

a

，+∞）．
（Ⅱ）由已知，轉(zhuǎn)化為f（x）_max＜g（x）_max，
由已知得g（x）_max=g（0）=1，
由（I）知，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，值域?yàn)镽，故不符合題意，
（或者舉出反例：存在f（e³）=ae³+3＞1，故不符合題意．）
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（0，-

1

a

）上單調(diào)遞增，在（-

1

a

，+∞）上單調(diào)遞減，
故f（x）的極大值即為最大值，f（-

1

a

）=-1+ln（-

1

a

）=-1-ln（-a），
∴1＞-1-ln（-a），解得a＜-

1

e2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想及有限與無(wú)限思想．