Question

17．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{n+2}{n}{S_n}$（n∈N^*）．
（1）證明：數(shù)列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{S_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）運用數(shù)列的遞推式：a_n+1=S_n+1-S_n，代入整理，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證；
（2）運用等比數(shù)列的通項公式，可得${S_n}=n•{2^{n-1}}$（n∈N^*）．再由數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求和．

解答 解：（1）證明：由${a_{n+1}}=\frac{n+2}{n}{S_n}$，及a_n+1=S_n+1-S_n，
得${S_{n+1}}-{S_n}=\frac{n+2}{n}{S_n}$，
整理，得nS_n+1=2（n+1）S_n，
∴$\frac{{{S_{n+1}}}}{n+1}=2•\frac{S_n}{n}$，又$\frac{S_1}{1}=1$，
∴$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$是以1為首項，2為公比的等比列；
（2）由（1），得$\frac{S_n}{n}={2^{n-1}}$，
∴${S_n}=n•{2^{n-1}}$（n∈N^*）．
∴${T_n}=1×{2^0}+2×{2^1}+3×{2^2}+…+n•{2^{n-1}}$，①
$2{T_n}=1×{2^1}+2×{2^2}+…+（{n-1}）•{2^{n-1}}+n•{2^n}$，②
由②-①，得${T_n}=-（{1+2+{2^2}+…+{2^{n-1}}}）+n•{2^n}=-\frac{{1-{2^n}}}{1-2}+n•{2^n}=（{n-1}）•{2^n}+1$．

點評 本題考查等比數(shù)列的定義和通項公式及求和公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．