已知f（x+1）=f（x-1），f（x）=f（-x+2），方程f（x）=0在[0，1]內有且只有一個根x=數(shù)學公式，則f（x）=0在區(qū)間[0，2011]內根的個數(shù)為


  1. A.
    2012
  2. B.
    2011
  3. C.
    1007
  4. D.
    1006
B
分析：由條件推出f（1-x）=f（1+x），進而推出f（x）為偶函數(shù)，且f（x）是周期等于2的周期函數(shù)，根據(jù)f（）=0求出f（）=0，從而得到函數(shù)f（x）在一個周期[0，2]上有2個零點，且函數(shù)f（x）在每兩個整數(shù)之間都有一個零點，從而得到f（x）=0在區(qū)間[0，2011]內根的個數(shù)．
解答：∵f（x）=f（-x+2），∴f（x）的圖象關于直線x=1對稱，即f（1-x）=f（1+x）．
又f（x+1）=f（x-1），∴f（x-1）=f（1-x），即f（x）=f（-x），故函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
再由f（x+1）=f（x-1）可得f（x+2）=f（x），故函數(shù)f（x）是周期等于2的周期函數(shù)．
由于f（）=0，∴f（-）=0，∴f（）=f（2-）=f（）=0，
故函數(shù)f（x）在一個周期[0，2]上有2個零點，且函數(shù)f（x）在每兩個整數(shù)之間都有一個零點，
f（x）=0在區(qū)間[0，2011]內根的個數(shù)為2011，
故選B．
點評：本題主要考查方程的根的存在性及個數(shù)判斷，函數(shù)的奇偶性與周期性的應用，抽象函數(shù)的應用，體現(xiàn)了化歸與轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

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已知f（x）=x2-2ax+5（a＞1）
（Ⅰ）若f（x）的定義域和值域均為[1，a]，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（-∞，2]上是減函數(shù)，且對任意的x1，x2∈[1，a+1]，總有|f（x1）-f（x2）|≤4，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，?x∈R都有f（x+6）=f（x）+2f（3），若函數(shù)f（x+1）的圖象關于直線x+1=0對稱，且f（-2）=2012，則f（2012）=（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•靜安區(qū)一模）已知f（x）=log
1
2
x，當點M（x，y）在y=f（x）的圖象上運動時，點N（x-2，ny）在函數(shù)y=gn（x）的圖象上運動（n∈N*）．
（1）求y=gn（x）的表達式；
（2）若方程g1（x）=g2（x-2+a）有實根，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）設Hn(x)=2gn(x)，函數(shù)F（x）=H1（x）+g1（x）（0＜a≤x≤b）的值域為[log2
52
b+2
，log2
42
a+2
]，求實數(shù)a，b的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調性；
（Ⅲ）若數(shù)學公式，設g（x）是函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的導函數(shù)，問是否存在實數(shù)a，滿足a＞1并且使g（x）在區(qū)間數(shù)學公式上的值域為數(shù)學公式，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年高三數(shù)學第一輪基礎知識訓練（20）（解析版） 題型：解答題

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調性；
（Ⅲ）若，設g（x）是函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的導函數(shù)，問是否存在實數(shù)a，滿足a＞1并且使g（x）在區(qū)間上的值域為，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

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