Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P（2，1）的距離為

10

．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)．求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）利用兩點(diǎn)間的距離公式可得c，再利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)即可得出a，b；
（Ⅱ）把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)D，可得k_AD•k_BD=-1，即可得出m與k的關(guān)系，從而得出答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵左焦點(diǎn)（-c，0）到點(diǎn)P（2，1）的距離為

10

，∴

(2+c)2+1

=

10

，解得c=1．
又e=

c

a

=

1

2

，解得a=2，∴b²=a²-c²=3．
∴所求橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，化為3+4k²＞m²．
∴x1+x2=

-8mk

3+4k2

，x1x2=

4(m2-3)

3+4k2

．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=

3(m2-4k2)

3+4k2

．
∵以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)D（2，0），k_AD•k_BD=-1，∴

y1

x1-2

•

y2

x2-2

=-1，
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，∴

3(m2-4k2)

3+4k2

+

4(m2-3)

3+4k2

+

16mk

3+4k2

+4=0．
化為7m²+16mk+4k²=0，解得m₁=-2k，m2=-

2k

7

．
，且滿足3+4k²-m²＞0．
當(dāng)m=-2k時(shí)，l：y=k（x-2），直線過(guò)定點(diǎn)（2，0）與已知矛盾；
當(dāng)m=-

2k

7

時(shí)，l：y=k(x-

2

7

)，直線過(guò)定點(diǎn)(

2

7

，0)．
綜上可知，直線l過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為(

2

7

，0)．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、圓的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．