Question

已知函數(shù)f（x）=（

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）^x，函數(shù)y=f^-1（x）是函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)．
（1）若函數(shù)y=f^-1（mx²+mx+1）的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，求函數(shù)y=[f（x）]²-2af（x）+3的最小值g（a）．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)f（x）=（

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）^x，的反函數(shù)，寫出函數(shù)y=f^-1（mx²+mx+1）的表達(dá)式，然后利用它的定義域?yàn)镽，mx²+mx+1＞0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）求函數(shù)y=[f（x）]²-2af（x）+3的表達(dá)式，根據(jù)x∈[-1，1]，求出（

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3

）^x的范圍，根據(jù)對稱軸是否在（

1

3

）^x的范圍內(nèi)求函數(shù)g（a）的最小值．

解答：解：（1）∵f^-1（x）
=log

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x（x＞0），
∴f^-1（mx²+mx+1）
=log

1

3

（mx²+mx+1），由題知，mx²+mx+1＞0恒成立，
∴①當(dāng)m=0時(shí)，1＞0滿足題意；
②當(dāng)m≠0時(shí)，
應(yīng)有

m＞0 △=m2-4m＜

0
?0＜m＜4，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為
0≤m＜4．
（2）∵x∈[-1，1]，
∴（

1

3

）^x∈[

1

3

，3]，
y=[f（x）]²-2af（x）+3=[（

1

3

）^x]²-2a（

1

3

）^x+3
=[（

1

3

）^x-a]²+3-a²，
當(dāng)a＜

1

3

時(shí)，
y_min=g（a）=

28

9

-

2a

3

；
當(dāng)

1

3

≤a≤3時(shí)，
y_min=g（a）=3-a²；
當(dāng)a＞3時(shí)，y_min=g（a）=12-6A、
∴g（a）=

28 9 - 2a 3 (a＜ 1 3 ) 3-a2( 1 3 ≤a≤3) 12-6a(a＞3)

點(diǎn)評：本題考查反函數(shù)，函數(shù)的最值及其幾何意義，考查轉(zhuǎn)化思想，恒成立問題，計(jì)算能力，以及分析問題解決問題的能力，是中檔題．