已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為
2
2
,直線?與橢圓C相切于M點(diǎn),F(xiàn)1、F2為橢圓的左右焦點(diǎn),且|MF1|+|MF2|=2
2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線m過F1點(diǎn),且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),|AF2|+|BF2|=
8
2
3
,求直線m的方程.
分析:(1)利用橢圓的離心率,橢圓的定義,建立方程組,求出幾何量,即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)出直線m的方程,與橢圓方程聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理及橢圓的定義,即可求得結(jié)論.
解答:解:(1)∵橢圓的離心率為
2
2
,|MF1|+|MF2|=2
2

c
a
=
2
2
2a=2
2

a=
2
,c=1
∴b=1
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
2
+y2=1
;
(2)由(1)知,F(xiàn)1(-1,0),設(shè)直線m的方程為x=my-1
代入橢圓方程可得(m2+2)y2-2my-1=0
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=
2m
m2+2
,y1y2=
-1
m2+2

∴|AB|=
1+m2
|y1-y2|
=
1+m2
(
2m
m2+2
)2-4•
-1
m2+2

|AF2|+|BF2|=
8
2
3

∴|AB|=4
2
-
8
2
3
=
4
2
3

1+m2
(
2m
m2+2
)
2
-4•
-1
m2+2
=
4
2
3

∴m=±1
∴直線m的方程為y=±(x+1)
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,離心率e=
2
2
該橢圓C與直線l:y=
2
x在第一象限交于F點(diǎn),且直線l被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為2
3
,過F作傾斜角互補(bǔ)的兩直線FM,F(xiàn)N分別與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)(F與M,N均不重合).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)求證:直線MN的斜率為定值;
(Ⅲ)求三角形FMN面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,一個(gè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)為(0,1),短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形,若直線l與y軸交于點(diǎn)P(0,m),與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B,且
AP
=3
PB

(Ⅰ)求橢圓C的離心率及其標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,一個(gè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)為(0,2),短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形,直線l與y軸交于點(diǎn)P(0,m),與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A、B,且
AP
=2
PB

(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(09年長(zhǎng)沙一中一模理)(13分)已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)F1,F2x軸上,離心率為,點(diǎn)Q在橢圓C上且滿足條件:= 2, 2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

     (Ⅱ)設(shè)A、B為橢圓上不同的兩點(diǎn),且滿足OAOB,若(R)且,試問:是否為定值.若為定值,請(qǐng)求出;若不為定值,請(qǐng)說明理由。

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