Question

19．已知函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱，f（-1）=320且$cosx-sinx=\frac{{3\sqrt{2}}}{5}$，則$f[\frac{15sin2x}{{cos（x+\frac{π}{4}）}}]$的值為（　�。�

• A． 240
• B． 260
• C． 320
• D． -320

Answer 1

分析 把cosx-sinx提取$\sqrt{2}$，利用兩角和的余弦函數(shù)公式的逆運(yùn)算化為一個(gè)角的余弦函數(shù)，即可求得cos（x+$\frac{π}{4}$）的值，然后利用誘導(dǎo)公式求出sin2x的值，進(jìn)而求得等于f（7），根據(jù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱，得到f（3+x）=f（3-x），即可推出f（7）=f（-1）可求出值．

解答 解：∵$cosx-sinx=\frac{{3\sqrt{2}}}{5}$，∴$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，得cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，
又∵sin2x=-cos（$\frac{π}{2}$+2x）=1-2cos²（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{7}{25}$
∴$f[\frac{15sin2x}{{cos（x+\frac{π}{4}）}}]$=f（7）
由題意y=f（x）關(guān)于直線x=3對(duì)稱
∴f（3+x）=y=f（3-x）
即f（7）=f（3+4）=f（3-4）=f（-1）=320，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 考查學(xué)生靈活運(yùn)用二倍角的正弦函數(shù)公式及兩角和的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，會(huì)利用函數(shù)的對(duì)稱性解決實(shí)際問(wèn)題．